[BOJ] 백준 2437번 저울 (Java)

#2437 저울

난이도 : 골드 3

유형 : 그리디 / 정렬

2437번: 저울

▸ 문제

하나의 양팔 저울을 이용하여 물건의 무게를 측정하려고 한다. 이 저울의 양 팔의 끝에는 물건이나 추를 올려놓는 접시가 달려 있고, 양팔의 길이는 같다. 또한, 저울의 한쪽에는 저울추들만 놓을 수 있고, 다른 쪽에는 무게를 측정하려는 물건만 올려놓을 수 있다.

 

무게가 양의 정수인 N개의 저울추가 주어질 때, 이 추들을 사용하여 측정할 수 없는 양의 정수 무게 중 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

예를 들어, 무게가 각각 3, 1, 6, 2, 7, 30, 1인 7개의 저울추가 주어졌을 때, 이 추들로 측정할 수 없는 양의 정수 무게 중 최솟값은 21이다. 

▸ 입력

첫 째 줄에는 저울추의 개수를 나타내는 양의 정수 N이 주어진다. N은 1 이상 1,000 이하이다. 둘째 줄에는 저울추의 무게를 나타내는 N개의 양의 정수가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. 각 추의 무게는 1이상 1,000,000 이하이다.

▸ 출력

첫째 줄에 주어진 추들로 측정할 수 없는 양의 정수 무게 중 최솟값을 출력한다.

 

문제 풀이  

추의 최대 무게는 100만이고 갯수는 1000개이므로 dp로 풀기에는 큰 범위의 수를 다루고 있다. 그래서 그리디 유형의 문제로 주어진 추의 무게로 접근할 수 없는 최소 양의 정수를 최적 선택을 고라하여 구해야 한다. 추는 한쪽의 저울에만 올릴 수 있으므로 두 추의 무게의 뺄셈은 고려하지 않고 오직 누적합만 이용해서 풀이를 생각해 볼 수 있다.

 

구상

첫 번째 기저조건으로 a1이 1이 아닐 경우 해당 저울로는 1을 측정할 수 없기 때문에 예외를 시켜줘야 한다.

 

그러면 주어진 추 a1, a2, ... , an을 오름차순으로 정렬하였을 때 a1= 1, S1=1임을 알 수 있다. 다음 원소로 오는 경우를 나열해보면 누적합을 고려할 수 없는 최소 양의 정수는 다음과 같다.

• a2 = 1일 경우, S2 = 2이고 부분집합으로 {1, 2}을 가진다.
• a2 = 2일 경우, S2 = 3이고 부분집합으로 {1, 2, 3}을 가진다.
• a2 = 3일 경우, S2 = 4이고 부분집합으로 {1, 3, 4}를 가진다.

따라서 a2 > S1+1 인 경우, '2'라는 양의 정수를 측정할 수 없음을 알 수 있다. 

 

탐욕스런 선택 조건 증명

이와 같은 방식으로 a1=1이고, a(n+1) > S(n)+1일 때 측정할 수 없는 최소 양의 정수는 S(n)+1임을 증명하여보자.

 

누적합 Sn = a1+a2+ ... + an, Sn의 부분집합의 원소를 Pn라고 하였을 때 Pn의 범위는  1 = a1 <= Pn <= Sn 이다. 그리고 Pn가 1부터 Sn까지 모든 수를 표현할 수 있다고 가정하자. 그렇다면 표현해야하는 다음의 수는 Sn+1이다.  

 

a 배열은 오름차순으로 정렬되어 있기 때문에 a(n+1) >= an 이어야 하기 때문에 1보다 같거나 큰 값이어야 한다. 

1. 따라서 만약 1 <=  a(n+1)  <= S(n+1)이라면 S(n+1) = a1+a2+ .. + a(n+1) 이고 ,
2. Pn에 a(n+1)을 더하게 되면 1 +a(n+1) <= Pn+a(n+1) <= Sn+a(n+1) →  a(n+1) <= Pn+a(n+1) <= S(n+1) 이 된다.
3. Pn은 1~Sn까지 모든 수를 포함하기 때문에 Pn+a(n+1)은 a(n+1)부터 S(n+1)까지 모든 수를 표현할 수 있음을 알 수 있다.

따라서 a1=1이고, 1 <= a(n) <= S(n)이라면 저울은 추의 무게를 1부터 Sn까지 모든 수를 표현할 수 있음을 증명할 수 있다. 그리고 반대로 a(n) > S(n)+1라고 한다면 S(n)+1은 측정할 수 없는 최소 양의 정수가 되는 것 또한 알 수 있다.

 

설계

1. 추의 무게(arr)를 오름차순으로 정렬한다. Arrays.sort(arr);
2. 추의 무게를 차례대로 누적합을 구하며 if(arr[i] > 누적합(sum(0..i-1))+1)인 부분을 탐색한다. if(arr[i] > sum+1) break;
   1. 위의 증명에 따라 해당 부분은 최소 양의 정수이므로 sum+1을 출력한다.

 

풀이 코드 

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {

	public static void main(String[] args) throws IOException{
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		
		int n = Integer.parseInt(br.readLine());
		
		int[] arr = new int[n];
		StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
		for(int i=0; i<n; i++) {
			arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
		}
		
		Arrays.sort(arr);
		
		int sum=0;
		for(int i=0; i<n; i++) {
			if(arr[i] > sum+1) break;
			sum+= arr[i];
		}
		System.out.println(sum+1);
	}
}