[BOJ] 백준 17626번 Four Squares (Java)

#17626 Four Squares

난이도 : 실버 5

유형 : DP / 브루트포스

17626번: Four Squares

▸ 문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

▸ 입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

▸ 출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

 

문제 풀이

이런 DP문제 중 추상적인 그림이 잘 안 잡히면 그냥 하위 문제 구조를 뜯어보면서 차근차근 알아내는 수 밖에 없다.

 

일단 n의 제곱수들의 최소 개수 합을 저장하는 dp배열에 값을 넣어보자.

 

   dp[1] = 1^2 = 1개

   dp[2] = 1^2 + 1^2 = 2개

   dp[3] = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3개

   dp[4] = 2^2 = 1개

   dp[5] = 2^2 + 1^2 = 2개

   dp[6] = 2^2 +1^2 + 1^2 = 3개

   dp[7] = 2^2 +1^2 + 1^2 + 1^2 = 4개

   dp[8] = 2^2 +2^2 = 2개

   dp[9] = 3^2 = 1개

   ...

   dp[25] = 5^2 =1개

   dp[26] = 5^2 + 1^2 = 1개

 

위의 과정을 보면 일단 제곱값부터 값이 크게 변한다는 것이다. (ex. dp[4], dp[9]  ..)

 

그리고 상위 문제가 하위 문제에 어떤 영향을 받고 있는지 찾아내야 한다.

 

   dp[1] = 1

   dp[2] = dp[1] + 1 = 2

   dp[3] = dp[2] + 1 = 3

   dp[4] = 1

   dp[5] = dp[2^2] + dp[1] = 2

   dp[6] = dp[2^2] + dp[2]  = 3

   dp[7] = dp[2^2] + dp[3] = 4 

   dp[8] = dp[2^2] + dp[2^2] = 2

 

 숫자 i는 자신의 제곱수(dp[j*j])들을 기준으로 제곱수를 뺀 나머지 값의 합을 구하면 된다. 

→ 따라서 점화식은 dp[i] = dp[i- j*j] + dp[j*j] 이라고 볼 수 있다.  (제곱 수 dp[j*j] , 나머지 합 dp[i-j*j])

 

이제 계산을 하면 되는데 dp[j*j] =1로 고정값이므로 가변값 dp[i-j*j]만 비교해주면 된다.

 

N의 제곱수들의 최소 개수 합을 구하는 것이므로 j를 브루트포스하게 전부 탐색하여 dp[i-j*j]값이 가장 최적화된 작은 값을 구해주면 된다.

* 무조건 큰 제곱값을 기준으로 값을 구하면 안됨. ex) 12 =  (3^2 + 1^2 + 1^2 + 1+2) 4개 vs  (2^2 + 2^2 +2^2) 3개 

 

풀이 코드 

import java.io.*;
import java.util.*;

public class FourSquares {

	static int[] dp;
	static int min;
	public static void main(String[] args) throws IOException{
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		int n = Integer.parseInt(br.readLine());
		dp = new int[n + 1];
		dp[0] = 0;
		dp[1] = 1;
	 
		solve(n);
	 
		System.out.println(dp[n]);
	}
	
	static void solve(int n) {
		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			int min = Integer.MAX_VALUE;
			for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
				min = Math.min(min, dp[i - j * j]);
			}
			dp[i] = min + 1; 
		}
	}
}