[BOJ] 백준 2098번 외판원 순회 (Java)

#2098 외판원 순회

난이도 : 골드 1

유형 : DP/ 비트마스킹 / TSP

2098번: 외판원 순회

▸ 문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

▸ 입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

▸ 출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

 

 

 

문제 풀이

TSP(Travelling Salesman Problem, 일명 ‘여행하는 외판원 문제’)는 조합 최적화(Combinatorial Optimization) 문제로 전산학에서 연구된 가장 유명한 문제 중 하나다. 

[알고리즘] 외판원 순회 문제(TSP: Travelling Salesman Problem) 정리 (Java)

 

 

📚 조건

• 도시의 수 N ( 2<= N <= 16)
• 순회 중 도시 재방문 x ( 마지막 복귀하는 도시 재방문은 예외)
• i → j로의 여행 비용은 W[i][j]이다.
  • 비용은 대칭적이지 않음( W[i][j] != W[j][i] )
  • W[i][i] = 0 

 

외판원 순회 문제 이해하기

N의 최대크기는 16이다. 그래서 만약 모든 경로를 조회하면서 답을 구하려고 한다면 16! = 약 20조 정도가 되어 시간초과가 발생한다. 그래서 비트마스킹과 DP를 사용하여 풀어줘야한다. 비트마스킹을 사용하면 2^n의 상태값을 n bit로 표현할 수 있다. 그리고 그 줄어든 O(n!)을 dp 메모제이션 기법을 사용하여 최적화를 이뤄준다.

 

TSP는 한 정점에서 다른 모든 정점을 순회하여 다시 출발 정점으로 돌아오는 최적의 경로를 찾는 방식으로 풀 수 있다. 이 순회 경로는 싸이클로  n개의 정점 중 어느 정점에서 탐색을 시작을 해도 결과는 똑같다는 것을 알아야한다.

 

최적의 순회 경로

 

1번에서 출발 :  1 → 2 → 5 → 3 → 4 → 1

2번에서 출발 : 2 → 5 → 3 → 4 → 1 → 2

3번에서 출발 : 3 → 4 → 1 → 2 → 5 → 3

 

☛ 어차피 최적 경로 싸이클은 어디서 시작해도 다 똑같이 나온다. 그래서 한 정점에서만 탐색해줘도 된다.

 

 

 → 정리하면 TSP(외판원 순회)는 최단 순환 경로를 탐색해야하는데 1) N! 의 중복 경로를 제거해주는 DP 메모제이션 기법을 사용한다. 그래도 2^N의 모든 경우의 수를 표현해야 하기 때문에 그만큼의 공간복잡도가 필요하다. 2) 메모리 사용량도 줄이고 성능 향상을 위해서 2^N의 경우의 수를 Nbit로 표현할 수 있는 비트마스킹으로 사용한다.

 

 → 최적화 접근 방식으로 DP 메모이제이션과 비트마스킹을 사용하여 해당 설명은 올라가야 할 계단의 수를 100 → 1로 줄여주는 설계 방법이라고 보면 된다. 

 

비트마스킹 사용하기

비트마스킹과 for문을 통해 각 도시(0~n-1번 도시)의 방문 상태를 업데이트해준다.

A |= (1 << k) : k를 새롭게 방문

for(int i=0; i<n; i++) {
	int next = check | (1<<i);
}

ex)

check = 1 ( 0001 ) → 현재 1번 도시 방문   

                 i = 3, check | (1<<3) = 9  (1001) → 1, 4(i+1)번 도시 방문

check = 3 ( 0011 ) → 현재 1,2번 도시 방문

                 i = 3, check | (1<<3) = 11 (1011) → 1, 2, 4(i+1)번 도시 방문

check = 5 ( 0101 ) → 현재 1,3번 도시 방문

                 i = 3, check | (1<<3) = 13  (1101) → 1, 3, 4(i+1)번 도시 방문

 

 

비트마스킹을 통해 방문 여부를 확인해준다. boolean배열과 똑같은 역할을 해준다고 보면 된다.

if(A & (1 << k)) : k를 방문했으면 true(1)

if(check & (1<<i)) != 0) continue;

ex)

check = 1 ( 0001 ) → 현재 1번 도시 방문   

                 i = 1, check  & (1<<1) = 1  (0001) → 1번은 이미 방문했으므로 continue!

 

풀이 코드

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {

	static int n, statusFullBit, INF = 987654321;
	static int[][] w;
	static int[][] dp;
	public static void main(String[] args) throws IOException{
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		StringTokenizer st = null;
		n = Integer.parseInt(br.readLine());
		statusFullBit = (1<<n) -1;
		w = new int[n][n];
		dp = new int[n][statusFullBit];
		for(int i=0; i<n; i++) {
			Arrays.fill(dp[i], -1);
		}
		
		for(int i=0; i<n; i++) {
			st = new StringTokenizer(br.readLine());
			for(int j=0; j<n; j++) {
				w[i][j] = Integer.parseInt(st.nextToken());
			}
		}
		
		System.out.println(tsp(0,1)); // 0번도시 부터 탐색 시작 (check: 0001)
	}
	
	static int tsp(int x, int check) {
        
		// 모든 도시 방문 완료
		if(check == statusFullBit) {
			if(w[x][0] == 0) return INF; // 경로 없으면 INF로 탐색 무효화 (Math.min)
			else return w[x][0]; // 경로가 존재하면 w[x][0]
		}
        
		// 이미 방문한 도시 
		if(dp[x][check] != -1) return dp[x][check];
        
		// 해당 도시에 출석 표시
		dp[x][check] = INF;
        
		// 방문하지 않은 도시 탐색 
		for(int i=0; i<n; i++) {
			// next : i 도시 방문
			int next = check | (1<<i); 
            
			// 경로가 없거나 i 도시를 이미 방문했을 경우 continue 
			if(w[x][i] ==0 || (check & (1<<i)) != 0) continue;
			
			dp[x][check] = Math.min(dp[x][check], tsp(i, next) + w[x][i]);
		}
		
		return dp[x][check];
	}
}